相続放棄をすれば、被相続人（故人）の借金を支払う義務はなくなります。したがって、速やかに相続放棄の手続を行い、相続放棄が受理された後、受理証明書の写しをＦＡＸ又は郵送するなどして債権者に知らせれば、通常督促は止まります。
なお、督促が気になる場合は、債権者に連絡の上、相続放棄の手続中であり、受理されたら証明書の写しを送る旨伝えると良いでしょう。弁護士に相続放棄を依頼された方については、弁護士が代理人として代わりに対応することも可能です。